幾何化予想

NHKスペシャルでポアンカレ予想に関する番組の中で、幾何化予想という考え方が紹介されていました。

幾何化予想は、「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題(WikiPediaより)ということだが、簡単に書くと

  • 空間が取り得る形は8つである

ということだろうと理解している。

その形は次の図のようなものだそうです。

(画像:NHKハイビジョン特集 「数学者はキノコ狩りの夢を見る」より)

ウィリアム・サーストンは、ポアンカレ予想を証明する過程で、この仮説を立て、

  • 宇宙空間に送り出したロープが回収できないとき、宇宙には丸くない空間が含まれ、「概ね丸い」とは言えない
  • 逆に、ロープを回収できたとき、「宇宙は概ね丸い」ということができる

と提唱したということです。